Thứ Tư, 22 tháng 10, 2025

Đọc lại bài báo mở đầu Cơ học lượng tử của Heisenberg năm 1925

Năm 2025 là năm kỷ niệm 100 năm ngày ra đời của Cơ học lượng tử, đánh dấu bởi bài báo của Heisenberg tiêu đề “Về việc diễn giải lại động học và cơ học theo lý thuyết lượng tử.” vào tháng 7 năm 1925. Tuy vậy, nhắc đến Cơ học lượng tử nhiều người lại nghĩ đến phương trình Schrodinger hơn là các kết quả trong bài báo này. Còn nhắc đến Heisenberg, người ta nghĩ nhiều hơn đến hệ thức bất định mang tên ông được phát minh 2 năm sau đó. Vậy tại sao năm 1925 và bài báo “thần kỳ” trên lại được coi là khởi đầu của Cơ học lượng tử? Nguyên nhân là những kết quả nền tảng của Cơ học lượng tử chính thức đã xuất hiện trong bài báo này của Heisenberg. Nhưng vì các công cụ toán học mà ông dùng lại khá khó hiểu với đa số nên phương pháp này không được đưa vào sách giáo khoa, mà được thay thế bởi phương pháp hàm sóng với phương trình Schrodinger nổi tiếng. Nó không chỉ dễ biến đổi hơn, mà còn giúp người dùng dễ hình dung hơn. Một nguyên nhân nữa là cách tiếp cận của Heisenberg, còn gọi là Cơ học ma trận, không mở rộng được cho các hệ phân tử phức tạp. Nhưng không vì thế mà Cơ học ma trận và bài báo “thần kỳ” trên mất đi ý nghĩa và vẻ đẹp của lý thuyết này. Đây chính là một dịp rất đáng để chúng ta “đọc” lại bài báo này.
### 1. Bối cảnh trước bài báo của Heisenberg năm 1925 Đến đầu năm 1925, các nhà khoa học đã tìm ra nhiều hiện tượng và xây dựng những mô hình khác nhau về tính lượng tử của vật chất và năng lượng, có thể kể đến như: * Max Planck tìm ra công thức phổ bức xạ điện từ của vật đen, với cách giải thích là năng lượng bức xạ phát ra từ vật theo những phần năng lượng rời rạc gọi là lượng tử năng lượng, tỷ lệ với tần số của bức xạ. \[ E=h\nu \] với \(\nu\) là tần số ánh sáng và \(h\) là hằng số mang tên Planck. Đây là một luận điểm rất khác biệt với những quan sát thông thường, năng lượng bức xạ không phát ra một cách liên tục mà chỉ phát ra những lượng rời rạc, hãy tưởng tượng sóng biển đánh vào bờ với những khối năng lượng rời rạc? * Trước đó vào năm 1885, Balmer đã tìm ra công thức tính bước sóng, Công thức Balmer (1885), của các vạch phổ trong vùng ánh sáng nhìn trong ánh sáng tán xạ của nguyên tử Hydro. Các bước sóng này tuân theo công thức rất đặc biệt: \[ \lambda=b\frac{n_{2}^{2}}{n_{2}^{2}-4} \] Với \(b=364.56\) nanomet và \(n_{2}\) bằng 3, 4, 5, 6. Vì sao nguyên tử phát xạ ở các bước sóng rời rạc với \(n_{2}\) là các số nguyên như vậy? * 3 năm sau, Rydberg đã tổng kết tất cả các vạch phổ khác của Hydro và đưa ra công thức Rydberg (1888) chung. Thay vì dùng cho bước sóng \(\lambda\), ông xây dựng công thức cho số sóng \(k=1/\lambda\) nên công thức trở nên đẹp hơn: \[ k=R\left(\frac{1}{n_{1}^{2}}-\frac{1}{n_{2}^{2}}\right) \] Với \(R\) là hằng số Rydberg và \(n_{1}\) và \(n_{2}\) là các số nguyên dương khác nhau, đặc trưng cho các mức năng lượng \(E_{n}\) của nguyên tử Hydro. Với trường hợp các vạch phổ Balmer thì nguyên tử chuyển từ các trạng thái năng lượng \(n_{1}\) bằng 3, 4, 5, 6 về trạng thái năng lượng \(n_{2}\) bằng 2. Điều này cho thấy dấu hiệu các mức năng lượng rời rạc và và tỷ lệ theo nghịch đảo của các số nguyên dương bình phương. * Vào năm 1911, Niels Bohr đã giải thích rất thuyết phục các vạch quang phổ của hydro trên, bằng cách giả định rằng các electron trong một nguyên tử chỉ có thể quay quanh hạt nhân ở một tập hợp các mức năng lượng rời rạc. Bức xạ được phát ra khi electron chuyển giữa các mức năng lượng. Tuy nhiên, mô hình nguyên tử của Bohr lại mâu thuẫn rõ rệt với lý thuyết cổ điển vì theo lý thuyết cổ điển, khi một electron quay quanh hạt nhân nó sẽ phát ra bức xạ sóng điện từ với tần số được xác định bởi tần số quỹ đạo của nó, chứ không phải bởi sự khác biệt giữa các mức năng lượng. * Tiếp theo đó, mô hình lượng tử ánh sáng photon của Einstein khi giải thích hiện tượng quang điện đã khẳng định tính lượng tử của bức xạ, tức là năng lượng ánh sáng cũng bị lượng tử hoá giống vật chất.
### 2. Biểu diễn electron bằng một tập hợp các “dao động tử ảo" Những lý thuyết mang tính lượng tử trên mặc dù mang tính đột phá so với lý thuyết cổ điển nhưng vẫn chưa hoàn chỉnh và chưa thể mô tả chính xác sự chuyển động của electron trong nguyên tử như Hydro. Đây là cách mà các nhà Vật lý vẫn thường tìm kiếm để “coi như” hiểu rõ về tính động lực của mỗi hạt, mỗi vật thể. Electron chuyển động thế nào? khi chịu tác động lực nó sẽ biến đổi theo phương trình gì? Chuyển mức năng lượng được mô tả bằng hàm gì?... Ở thời điểm này, Heisenberg đã liên tưởng đến ý tưởng các electron dao động mà Hendrik Lorentz dùng để mô tả cơ chế của hiện tượng tán sắc ánh sáng (chiết suất của một vật liệu phụ thuộc vào bước sóng của ánh sáng tới). Và các dữ liệu thực nghiệm trên nguyên tử Hydro ở trên là những dấu vết rõ rệt nhất về tính chất của electron mà chúng ta biết - chúng chuyển tiếp giữa các mức năng lượng và phát ra, hay hấp thụ các lượng tử ánh sáng photon với tần số phụ thuộc hiệu năng lượng. Và Heisenberg đã cho rằng trong electron ẩn chứa các 'dao động tử ảo', tương tự các 'hạt tích điện dao động ảo'. Tần số dao động của chúng tương với tần số phát xạ khi electron chuyển tiếp giữa các mức năng lượng. Vì electron có thể thực hiện chuyển tiếp giữa rất nhiều mức khác nhau như chúng ta đã quan sát ở các vạch phát xạ, nên electron chứa rất nhiều các 'dao động tử ảo'. Các dao động tử ảo này sẽ cho phép giải thích các vạch quang phổ nguyên tử mà chúng ta quan sát được, tức là giải thích kết quả thực nghiệm, điều quan trọng nhất của các mô hình Vật lý. Nhưng luận điểm độc đáo và cách mạng của Heisenberg chính là: từ bỏ ý tưởng việc tìm một quỹ đạo electron xác định, mà thay vào đó mô tả một electron như một tập hợp các dao động tử ảo tương ứng với tập hợp các chuyển tiếp năng lượng như được định nghĩa trong mô hình Bohr. Ông nói: “Hãy ngừng nói về những thứ chúng ta không thể quan sát được”. Sau này chúng ta hiểu rõ hơn tính không thể quan sát được bằng cách hình dùng nếu muốn thấy một electron đang quay quanh quỹ đạo có nghĩa là chiếu ánh sáng có tần số cực cao vào nó (vì một hình ảnh có độ phân giải cao chỉ có thể được tạo ra bằng ánh sáng tần số cao). Nhưng ánh sáng tần số cao bao gồm các photon năng lượng cao, và việc chiếu một photon năng lượng cao vào một electron sẽ tác động làm thay đổi quỹ đạo của nó và vị trí quan sát sẽ không phải vị trí chúng ta muốn quan sát khi không chiếu photon. Nói tóm lại, chúng ta không bao giờ có thể quan sát trực tiếp một quỹ đạo electron hay bất kỳ hạt nào. Thay vào đó, Heisenberg đề nghị: "Hãy xây dựng một lý thuyết vật lý chỉ dựa trên những gì chúng ta thực sự có thể đo được bằng thực nghiệm." Đó là các vạch quang phổ – là cường độ và tần số của ánh sáng mà nguyên tử hấp thụ và phát ra. Triết lý "chỉ quan tâm đến những gì quan sát được" này đã trở thành nền tảng của cuộc cách mạng lượng tử. Nhưng ông xây dựng lý thuyết này như thế nào? Trước hết, qua lý thuyết các mức năng lượng của Bohr, ông biểu diễn hàm trạng thái của một electron cổ điển theo thời gian ở mức năng lượng \(n\) như là một tổng các hàm dao động (hàm mũ với số mũ ảo), lấy ý tưởng từ khai triển Fourier: \[ X_{n}=\sum_{\alpha=-\infty}^{\infty}a_{\alpha}(n)e^{i\alpha\omega_{n}t} \] Ở đây các dao động tử ảo dao động với tần số góc là bội số \(\alpha\) lần một tần số cơ bản \(\omega_{n}\). Và trước đó, Kramer đã chỉ ra các hệ số Fourier của biểu diễn này, \(a_{\alpha}(n)\) này tỷ lệ trực tiếp với các hệ số chuyển mức năng lượng của Einstein. \[ B_{n\rightarrow m}\propto|x_{nm}|^{2} \] Ngoài ra, để cho hàm \(X_{n}\) có giá trị thực, các hệ số trái dấu phải là chuyển vị của nhau. \[ a_{-\alpha}(n)=a_{\alpha}^{*}(n) \] Theo nguyên lý tương đương của Bohr, ở mức năng lượng \(n\) cao các biểu diễn lượng tử sẽ hội tụ về biểu diễn cổ điển. Do vậy Heisenberg đã gán tần số dao động của các 'dao động tử ảo' bằng các tần số dao động Fourier, \(\alpha \omega_{n}\rightarrow \omega_{n,n-\alpha}\), tương ứng với tần số phát xạ khi electron chuyển từ mức \(n\) tới mức \(n-\alpha\), và đưa ra biểu diễn lượng tử của electron có dạng: \[ a_{\alpha}(n)e^{i\alpha\omega_{n}t}\longrightarrow a_{n,n-\alpha}e^{i\omega_{n,n-\alpha}t} \] Biểu diễn mới này chính là khái niệm “reinterpretation", biểu diễn lại, của tính động lực “kinematic” của electron trong tiêu đề bài báo. Lưu ý là \(\alpha\) có thể âm. Ngoài ra ta cũng có thể ký hiệu \(n-\alpha\) bởi mức năng lượng \(k\), khi đó tần số tương ứng của chuyển mức từ \(n\) sang \(k\) là \(\omega_{nk}\), tuân theo nguyên lý tổng hợp tần số của Ritz. Cách viết này sẽ thuận tiện hơn trong các biến đổi sau. Tổng hợp lại ta có biểu diễn của electron ở mức năng lượng \(n\) là một tổng sau: \[ x_{n}(t)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}a_{nk}e^{i\omega_{nk}t} \] Với các tần số góc \(\omega_{nk}\) tính toán bởi công thức Planck: \[ \omega_{nk}=2\Pi v=2\Pi(E_{n}-E_{k})/h=(E_{n}-E_{k})/\hbar \] Và các hệ số \(a_{nk}\) cũng thoả mãn tính liên hợp của số phức như biểu diễn cổ điển. \[ a_{nk}=a_{kn}^{*} \]
### 3. Phương trình động học của electron và phép nhân ma trận Đến đây ta đã có được biểu diễn của electron ở trạng thái năng lượng \(n\) là một tổng các hàm dao động. Tiếp theo Heisenberg đã tìm cách tìm phương trình động lực cho electron, và thật ngạc nhiên là ông đã xuất phát từ cơ học Newton cổ điển và viết lại hàm chuyển động dưới dạng: \[ \dot{x}_{n}+f(x_{n})=0 \] với \(f(x_{n})\) là hàm phụ thuộc vào thế năng: \[ f(x_{n})\equiv\frac{1}{m}\frac{dV(x)}{dx}|_{x=x_{n}} \] Đây chính là từ khoá “mechanics” trong tiêu đề bài báo. Để tính toán hàm \(f\) phù hợp với biểu diễn lượng tử \(x_{n}\) nói trên, ông lại dùng khai triển Fourier cho hàm \(f\) bất kỳ bằng tổng một chuỗi các đa thức của \(x_{n}\). Có nghĩa là để tính được hàm \(f\), ta cần tính được hàm mũ của \(x_{n}\). Và Heisenberg đã tìm cách nhân hai chuỗi tổng quát bất kỳ \(x_{n}y_{n}\): \[ x_{n}y_{n}=\sum_{k}a_{nk}e^{i\omega_{nk}t}\sum_{m}b_{nm}e^{i\omega_{nm}t}=\sum_{k}\sum_{m}a_{nk}b_{nm}e^{i(\omega_{nk}+\omega_{nm})t} \] Đến đây chúng ta thấy là các tần số góc không thể cộng trực tiếp như việc cộng tần số của hai lần chuyển liên tiếp trong công thức của Ritz, do sai khác thứ tự hệ số - \(\omega_{nk}\) không cộng được với \(\omega_{nm}\). Và đây lại là một biến đổi đầy trực giác khác. Do tính liên hợp phức của các hệ số, \(b_{mk}=b_{km}^{*}\) và tính ngược dấu của các tần số: \[ \omega_{nk}=(E_{n}-E_{k})/\hbar=-(E_{k}-E_{n})/\hbar=-\omega_{kn} \] Heisenberg đã có thể hoán đổi chỉ số \(k\) và \(m\) của \(y_{n}\) và viết lại tích của hai trạng thái: \[ x_{n}y_{n}=\sum_{k}a_{nk}e^{i\omega_{nk}t}\sum_{m}b_{km}e^{i\omega_{km}t}=\sum_{k}\sum_{m}a_{nk}b_{km}e^{i(\omega_{nk}+\omega_{km})t}=\sum_{m}\sum_{k}a_{nk}b_{km}e^{i\omega_{nm}t} \] Hãy chú ý các tần số góc giờ đã có thể cộng được theo công thức Ritz: \(\omega_{nk}+\omega_{km}=\omega_{nm}\) tương ứng với việc dịch chuyển từ mức năng lượng \(n\) xuống \(k\), xong xuống \(m\). Và công thức tích có thể rút gọn lại: \[ x_{n}y_{n}=\sum_{m}c_{nm}e^{i\omega_{nm}t} \] cũng là một chuỗi "dao động tử ảo", với: \[ c_{nm}\equiv\sum_{k}a_{nk}b_{km} \] Đặc biệt chính Heisenberg cũng không biết biểu thức cuối \(c_{nm}\) chính là phần tử của một phép nhân ma trận trong bài báo đầu tiên. Chính Born đã nhận ra điều này và sử dụng ma trận trong bài báo tiếp theo cùng với P. Jordan, chỉ sau mấy tháng. Phép nhân ma trận để tính ra hàm trạng thái mới chính là phát hiện quan trọng nhất của bài báo, và cũng tạo ra tên gọi Cơ học ma trận, hay đúng ra là cách tiếp cận ma trận của cơ học lượng tử. Việc biểu diễn một electron bằng một chuỗi hay một ma trận là một cách nhìn hoàn toàn mới về vật chất. Các hạt vi mô không thể mô tả bởi một hàm vị trí xác định như toạ độ \(x = 5.4\) cm,... Sau này, Schrodinger đã đưa ra cách tiếp cận mới, biểu diễn electron hay hạt bất kỳ bằng một hàm sóng. Cách biểu diễn này tổng quan hơn, trực giác hơn. Thay vì các hệ số của ma trận Heisenberg cho biết xác suất chuyển trạng thái của năng lượng, giá trị của hàm sóng của Schrodinger có độ lớn tỷ lệ với xác suất tìm thấy hạt ở vị trí xác định. Cách biểu diễn như vậy vẫn tương thích nhưng dễ hiểu hơn. Cụ thể là, mặc dù không phát hiện được electron ở chính xác một vị trí, người ta có thể dự báo được xác suất của nó ở vị trí đó. Đây cũng là một cách nhìn hoàn toàn mới của cơ học lượng tử - vật chất tồn tại trong không gian một cách bất định, tuân theo những quy luật xác suất.
### 4. Tính không giao hoán và toán tử năng lượng Điều đặc biệt mà Heisenberg phát hiện là phép nhân này không giao hoán trong trường hợp tổng quát: \[ x_{n}y_{n}=\sum_{m}\sum_{k}a_{nk}b_{km}e^{i\omega_{nm}t} \] \[ y_{n}x_{n}=\sum_{m}\sum_{k}b_{nk}a_{km}e^{i\omega_{nm}t} \] \[ x_{n}y_{n}\ne y_{n}x_{n} \] Điều này có vẻ bình thường đối với một sinh viên khi học về nhân ma trận, nhưng các nhà Vật lý ở thời điểm đó rất ít dùng đến ma trận và do vậy, phép không giao hoán này rất đặc biệt. Nhưng tính không giao hoán được áp dụng thế nào? Chúng ta sẽ thấy ngay sau đây. Sau khi đã có hàm trạng thái cho một mức năng lượng \(n\), chúng ta đã có thể hình dung một công thức tổng quát cho trạng thái electron là một ma trận: \[ x(t) = \begin{bmatrix} \ddots & \vdots & \dots \\ \dots & x_{nm} e^{i \frac{E_n - E_m}{\hbar} t} & \dots \\ \dots & \vdots & \ddots \end{bmatrix} \] Trong đó mỗi hàng có thể coi là giới hạn của một quỹ đạo cổ điển ở mức năng lượng \(n\), mỗi phần tử đại diện cho một dao động tử ảo với hệ số \(x_{nm}\) tỷ lệ với xác suất chuyển trạng thái tương ứng hệ số B của Einstein. Khám phá tiếp theo của Heisenberg là: đạo hàm của \(x(t)\) theo thời gian là gì? Bằng cách sử dụng ký hiệu ma trận, chúng ta dễ nhận thấy: \[ \frac{dx}{dt} = \begin{bmatrix} \ddots & \vdots & \dots \\ \dots & i \frac{E_n - E_m}{\hbar} x_{nm} e^{i \frac{E_n - E_m}{\hbar} t} & \dots \\ \dots & \vdots & \ddots \end{bmatrix} \] Đạo hàm này là một ma trận mà mỗi phần tử chỉ sai khác so với phần tử tương ứng của \(x(t)\) ở hệ số \(i\frac{E_{n}-E_{m}}{\hbar}\). Và bằng cách định nghĩa thêm một ma trận đường chéo \(H\) với các phần tử trên đường chéo là các mức năng lượng \(E_{n}\), còn gọi là ma trận Hamiltonian: \[ H = \begin{bmatrix} \ddots & & \\ & E_n & 0 \\ & 0 & E_{n+1} \\ & & \ddots \end{bmatrix} \quad \text{i.e.} \quad H_{nm} = \delta_{nm} E_n \] Khi đó bằng cách nhân các ma trận \(Hx\) và \(xH\), và trừ chúng cho nhau ta sẽ thu được mức chênh lệch năng lượng \((E_{n}-E_{m})\) tìm thấy trong phép đạo hàm trên, chỉ còn khác ở hệ số \(i/\hbar\): \[ (Hx-xH)_{nm}=\sum_{k}H_{nk}x_{km}-x_{nk}H_{km}=\sum_{k}E_{n}\delta_{nk}x_{km}-x_{nk}E_{m}\delta_{km}=(E_{n}-E_{m})x_{nm} \] Hay nói cách khác, đạo hàm của một ma trận theo thời gian chính là toán tử giao hoán của ma trận đó với ma trận Hamiltonian, nhân với hệ số \(i/\hbar\). \[ \frac{dx}{dt}=\frac{i}{\hbar}(Hx-xH)=\frac{i}{\hbar}[H,x] \] Đây là một kết quả rất đẹp và bất ngờ. Tính không giao hoán của các ma trận thực chất lại là động lực của sự biến đổi theo thời gian của ma trận đó. Đây chính là phương trình động lực của electron bằng ma trận, và nó cũng là phiên bản ma trận của phương trình Schrodinger theo thời gian sau này. Chưa hết, bài báo của Heinsenberg còn đưa ra một kết quả nữa là phép đạo hàm theo số lượng tử \(d/dn\), hay là một biểu diễn mới của quy tắc lượng tử Bohn-Summerfield. Đây chính là tiền đề của hệ thức bất định mang tên ông công bố năm 1927, và tôi sẽ trình bày chi tiết hơn trong một bài viết khác. *** Tóm lại, cơ học ma trận của Heisenberg công bố trong bài báo “Về việc diễn giải lại động học và cơ học theo lý thuyết lượng tử.” và hoàn thiện trong 2 bài báo tiếp theo trong năm 1925 đã mở ra một chương mới của Vật lý, lý thuyết Cơ học lượng tử. Đây là nền tảng của lý thuyết của các hạt vi mô và vật chất nói chung. Cơ học lượng tử đã đứng vững và chính xác tuyệt đối sau này, thể hiện tầm nhìn và sự sáng suốt vĩ đại của các nhà khoa học hơn một thế kỷ trước. Đây cũng là lần đầu tiên Toán học được đưa vào sử dụng để xây dựng mô hình Vật lý nhiều đến như vậy. Điều đó cho thấy bản chất sâu xa của vật chất là phức tạp hơn chúng ta tưởng, hơn các chuyển động hàng ngày chúng ta thấy trước mặt như quả táo rơi, hòn bi lăn,... Để hiểu được vật chất và sự vận hành của vật chất chúng ta đã vận dụng những công cụ toán học trừu tượng và phức tạp, đến mức Einstein trong thời gian đầu cũng không tán thành cơ học lượng tử (ông luôn muốn tìm cách biểu diễn bằng những công thức đơn giản). Tuy nhiên điều này cũng gợi mở những câu hỏi sâu xa về ý nghĩa của Cơ học lượng tử và bản chất tồn tại của vật chất? **Nguyễn Quang** **Tham khảo:** 1. [https://www.youtube.com/watch?v=oVzzlkkYGY8](https://www.youtube.com/watch?v=oVzzlkkYGY8) (This is how Heisenberg created quantum mechanics - a step-by-step guide) 2. [https://www.youtube.com/watch?v=IcSMWC-2kew&list=PLG6kLm-LDbaCJhFMH8S7vVj8U_itLoik4&index=8](https://www.youtube.com/watch?v=IcSMWC-2kew&list=PLG6kLm-LDbaCJhFMH8S7vVj8U_itLoik4&index=8) (Development of Heisenberg's matrix mechanics)

Không có nhận xét nào:

Đăng nhận xét

Đọc lại bài báo mở đầu Cơ học lượng tử của Heisenberg năm 1925

Năm 2025 là năm kỷ niệm 100 năm ngày ra đời của Cơ học lượng tử, đánh dấu bởi bài báo của Heisenberg tiêu đề “Về việc diễn giải lại động học...